Tìm hệ số của x5 trong khai triển (2x + 3)(x – 2)6.

Hướng dẫn giải

Có (2x + 3)(x – 2)⁶

= 2x(x – 2)⁶ + 3(x – 2)⁶.

Ta tìm hệ số của x5 trong từng khai triển: 2x(x – 2)⁶ và 3(x – 2)⁶.

+) Có: 2x(x – 2)⁶

= 2x$\text{[}{C}_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5(-2)+C_6^2{x}^4{(-2)}^2+C_6^3{x}^3{(-2)}^3$

$+C_6^4{x}^2{(-2)}^4+C_6^{5}x{(-2)}^5+C_6^6{(-2)}^6\text{]}$

= $2C_6^0{x}^7+2(-2)C_6^1{x}^6+2{(-2)}^2{C}_6^2{x}^5+2{(-2)}^3{C}_6^3{x}^4$

$+2{(-2)}^4{C}_6^4{x}^3+2{(-2)}^5{C}_6^5{x}^2+2{(-2)}^6{C}_6^{6}x.$

Hệ số của x⁵ trong khai triển này 120.

+) Có: 3(x – 2)⁶

= 3$\text{[}{C}_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5(-2)+C_6^2{x}^4{(-2)}^2+C_6^3{x}^3{(-2)}^3$

$+C_6^4{x}^2{(-2)}^4+C_6^{5}x{(-2)}^5+C_6^6{(-2)}^6\text{]}$

$=3C_6^0{x}^6+3(-2)C_6^1{x}^5+3{(-2)}^2{C}_6^2{x}^4+3{(-2)}^3{C}_6^3{x}^3$

$+3{(-2)}^4{C}_6^4{x}^2+3{(-2)}^5{C}_6^{5}x+3{(-2)}^6{C}_6^6.$

Hệ số của x⁵ trong khai triển này là $3(-2)C_6^1$ = –36.

Vậy hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)6 là 120 + (–36) = 84.