Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N*: 1 + 2 + 3 +...+ n = n(n+1)/2

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 1 = $\frac{1(1+1)}{2}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1+2+3+\dots +k=\frac{k(k+1)}{2}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1+2+3+\dots +k+(k+1)=\frac{(k+1)\left[(k+1)+1\right]}{2}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+2+3+\mathrm{...}+k+(k+1)$

$=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.