Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi n thuộc N*: 1 + q + q^2 + q^3 + q^4 +...+ q^n-1 = (1-q^n)/(1-q) (q khác 1)

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có q1 – 1 = q0 = 1 = $\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-q^1}{1-q}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{k-1}=\frac{1-q^k}{1-q}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1+q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{k-1}+q^{(k+1)-1}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{k-1}+q^{(k+1)-1}$

$=\frac{1-q^k}{1-q}+q^{(k+1)-1}$$=\frac{1-q^k}{1-q}+q^k$$=\frac{1-q^k+q^k(1-q)}{1-q}$$=\frac{1-q^k+q^k-q^{k+1}}{1-q}$$=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.