(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng và...

Hướng dẫn giải

a)

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T₁ nhận được sau kì thứ 1 là:

T₁ = A + Ar = A(1 + r).

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T₂ nhận được sau kì thứ 2 là:

T₂ = A(1 + r) + A(1 + r)r = A(1 + r)(1 + r) = A(1 + r)2.

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T₃ nhận được sau kì thứ 3 là:

T₃ = A(1 + r)2 + A(1 + r)2r = A(1 + r)3.

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán T_n = A(1 + r)n.

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 1 ta có T₁ = A(1 + r) = A(1 + r)1.                                                                                                

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T_k = A(1 + r)k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: T_{k + 1} = A(1 + r)k + 1.

Thật vậy,

Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T_{k + 1} nhận được sau kì thứ (k + 1) là:

T_{k + 1} = A(1 + r)k + A(1 + r)k.r = A(1 + r)k(1 + r) = A(1 + r)k + 1.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy T_n = A(1 + r)n với mọi số tự nhiên n ≥ 1.