Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N*

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{a^1+b^1}{2}=\frac{a+b}{2}={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^1\text{. }$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{a^k+b^k}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^k\text{. }$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}\text{. }$

Ta có:

Vì (ak – bk) và (a – b) cùng dấu nên (ak – bk)(a – b) ≥ 0 với mọi k ≥ 1,

suy ra ak + 1 + bk + 1 ≥ akb + abk

=> (ak + 1 + bk + 1) + (ak + 1 + bk + 1) ≥ (akb + abk) + (ak + 1 + bk + 1) = (a + b)(ak + bk)

=> 2(ak + 1 + bk + 1) ≥ (a + b)(ak + bk)

$\Rightarrow \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge \frac{(a+b)}{2}.\frac{(a^k+b^k)}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge \frac{a+b}{2}.\frac{a^k+b^k}{2}\ge \frac{a+b}{2}.{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^k={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}\text{. }$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.