Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2:

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 2, ta có $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>\frac{4}{3}=\frac{2.2}{2+1}.$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 2.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, nghĩa là có:$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}>\frac{2k}{k+1}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}>\frac{2(k+1)}{(k+1)+1}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}$ > $\frac{2k}{k+1}+\frac{1}{k+1}=\frac{2k+1}{k+1}=\frac{(2k+1)(k+2)}{(k+1)(k+2)}=\frac{2k^2+5k+2}{(k+1)(k+2)}$$>\frac{2k^2+4k+2}{(k+1)(k+2)}=\frac{2{(k+1)}^2}{(k+1)(k+2)}=\frac{2(k+1)}{k+2}=\frac{2(k+1)}{(k+1)+1}.$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.