Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn bằng 6

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a² = 9.

– Elip có một tiêu điểm là F₁(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra b² = a² – c² = 3² – 2² = 5.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1.$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c² = 36.

– Elip có tâm sai bằng  suy ra $\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{6}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow a=10$ 

$\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1.$

c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3},$ suy ra $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\Rightarrow \frac{c^2}{a^2}=\frac{5}{9}\Rightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{5}{9}\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{9}$ 

$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{4}{9}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{2}{3}\Rightarrow b=\frac{2}{3}a\left(1\right).$

– Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20 $\Rightarrow 2\left(2a+2b\right)=20\Rightarrow a+b=5\left(2\right).$

Thế (1) vào (2) ta được $\frac{2}{3}a+a=5\Rightarrow \frac{5}{3}a=5\Rightarrow a=3\Rightarrow b=\frac{2}{3}a=\frac{2}{3}.3=2.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ hay $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$