Từ các công thức khai triển: (a + b)^0 = 1; (a + b)^1 = a + b; (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Câu hỏi :

Từ các công thức khai triển:

${(a + b)}^0$= 1;

${(a + b)}^1$ = a + b;

${(a + b)}^2 = a^2 + 2ab + b^2$;

${(a + b)}^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3a{b}^2 + b^3$;

${(a + b)}^4 = a^4 + 4a^{3}b + 6a^2{b}^2 + 4a{b}^3 + b^4;$

${(a + b)}^5 = a^5 + 5a^{4}b + 10a^3{b}^2 + 10a^2{b}^3 + 5a{b}^4 + b^5;$

các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.

Từ các đẳng thức như

$\begin{array}{ll}{C}_3^0=C_3^3=1,& C_4^1=C_4^3=4,\\ C_3^0+C_3^1=C_4^1,& C_4^2+C_4^3=C_5^3,\end{array}$

có thể dự đoán rằng, với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

$C_n^k=C_n^{n-k}(0\le k\le n);$

 

$C_n^{k-1}+C_n^k=C_{n+1}^k(1\le k\le n).$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},n\in \mathbb{N},0\le k\le n.$