Biết rằng hệ số của x2 trong khai triển của (1 + 3x)n là 90. Tìm giá trị của n.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(1 + 3x)ⁿ = $C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}\left(3x\right)+\mathrm{...}+C_n^k{1}^{n-k}{\left(3x\right)}^k+\mathrm{...}+C_n^n{\left(3x\right)}^n$

$=1+C_n^{1}3x+\mathrm{...}+C_n^k{3}^k{x}^k+\mathrm{...}+C_n^n{3}^n{x}^n.$

Số hạng chứa x2 ứng với giá trị k = 2. Hệ số của số hạng này là $C_n^2{3}^2=\frac{9n(n-1)}{2}.$

Theo giả thiết, ta có $\frac{9n(n-1)}{2}=90\Rightarrow n(n-1)=20\Rightarrow [\begin{array}{l}n=5\left(TM\right)\\ n=-4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(L\right)\end{array}.$

Vậy n = 5.