Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài bán trục lớn gấp hai

a) Gọi độ dài bán trục lớn và bán trục bé lần lượt là a và b, ta có a = 2b.

Suy ra c = $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}{a}^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}.$

Vậy tâm sai của elip là $e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

b) Giả sử elip có một đỉnh trên trục lớn là A(a; 0) (a > 0) và một đỉnh trên trục bé là B(0; b) (b > 0).

Khi đó theo đề bài ta có AB = 2c = 2 $\sqrt{a^2-b^2}.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \sqrt{{\left(0-a\right)}^2+{\left(b-0\right)}^2}=2\sqrt{a^2-b^2}\Rightarrow a^2+b^2=4\left(a^2-b^2\right)\\ \Rightarrow 3a^2=5b^2\Rightarrow b^2=\frac{3}{5}{a}^2\Rightarrow c^2=a^2-\frac{3}{5}{a}^2=\frac{2}{5}{a}^2\\ \Rightarrow \frac{c^2}{a^2}=\frac{2}{5}\Rightarrow \frac{c}{a}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.\end{array}$

Vậy elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{10}}{5}.$