Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học.

Hướng dẫn giải

+) Với n = 1, ta có: (a + b)1 = a + b = $C_1^0{a}^1+C_1^1{b}^1.$

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k ≥ 1 là một số nguyên dương tuỳ ý mà công thức đúng đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a+b)}^{k+1}=C_{k+1}^0{a}^{k+1}+C_{k+1}^1{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{...}+C_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(a+b)}^k=C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+\mathrm{...}+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k.$

Khi đó:

${(a+b)}^{k+1}=(a+b){(a+b)}^k$

$=a{(a+b)}^k+b{(a+b)}^k$

$=a(C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+\mathrm{...}+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k)$

$+b(C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+\mathrm{...}+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k)$

$=(C_k^0{a}^{k+1}+C_k^1{a}^{k}b+C_k^2{a}^{k-1}{b}^2+\mathrm{...}+C_k^{k-1}{a}^2{b}^{k-1}+C_k^{k}a{b}^k)$

$+(C_k^0{a}^{k}b+C_k^1{a}^{k-1}{b}^2+\mathrm{...}+C_k^{k-2}{a}^2{b}^{k-1}+C_k^{k-1}a{b}^k+C_k^k{b}^{k+1})$

$=C_k^0{a}^{k+1}+(C_k^0+C_k^1)a^{k}b+(C_k^1+C_k^2)a^{k-1}{b}^2+\mathrm{...}$

$+(C_k^{k-2}+C_k^{k-1})a^2{b}^{k-1}+(C_k^{k-1}+C_k^k)a{b}^k+C_k^k{b}^{k+1}$

$=1.a^{k+1}+C_{k+1}^1{a}^{k}b+C_{k+1}^2{a}^{k-1}{b}^2+\mathrm{...}+C_{k+1}^{k-1}{a}^2{b}^{k-1}+C_{k+1}^{k}a{b}^k+1.b^{k+1}$ 

(vì $C_k^i+C_k^{i+1}=C_{k+1}^{i+1}\forall 0\le i\le k$, i $\in$ ℕ, k$\in$ ℕ*)

$=C_{k+1}^0{a}^{k+1}+C_{k+1}^1{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{...}+C_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ*.