Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc

a) Toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của hypebol (H) là: F₁(–c; 0) và F₂(c; 0) với $c=\sqrt{a^2+b^2}.$

b)

+) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $\left(x_{A_1};0\right).$

Mà A₁ thuộc (H) nên $\frac{x_{{}_{A_1}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{}_{A_1}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_1}=a\\ x_{A_1}=-a\end{array}\right..$

Ta thấy A₁ nằm bên trái điểm O trên trục Ox nên $x_{A_1}<0\Rightarrow x_{A_1}=-a\Rightarrow$A₁(–a; 0). Khi đó OA₁ = $\sqrt{{\left(-a-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(-a\right)}^2}=a$(vì a > 0).

Vậy OA₁ = a.

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $\left(x_{A_2};0\right).$

Mà A₂ thuộc (H) nên $\frac{x_{{}_{A_2}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{}_{A_2}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_2}=a\\ x_{A_2}=-a\end{array}\right..$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_2}>0\Rightarrow x_{A_2}=a\Rightarrow$A₂(a; 0). Khi đó OA₂ = $\sqrt{{\left(a-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{a^2}=a$(vì a > 0).

Vậy OA₂ = a.