Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức MF1^2 – MF2^2 = 4cx và

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy thì MF₁ > MF₂. Khi đó:

MF₁ – MF₂ = |MF₁ – MF₂| = 2a.

Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)2a = 4cx

$\Rightarrow$ MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$ = $\frac{2c}{a}$x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = $\frac{2c}{a}x$ + 2a $\Rightarrow$ 2MF₁ = $\frac{2c}{a}x$ + 2a

$\Rightarrow$ MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x $=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=|a+ex|.$

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = $\frac{2c}{a}x$ – 2a $\Rightarrow$2MF₂ = $\frac{2c}{a}x$ – 2a

$\Rightarrow$ MF₂ = $\frac{c}{a}$ x – a =  $=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=|a-ex|.$

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trái Oy thì MF₁ < MF₂. Khi đó:

MF₁ – MF₂ = –|MF₁ – MF₂| = –2a.

Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

$\Rightarrow$ MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$ = – $\frac{2c}{a}x$. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = – + (–2a) $\Rightarrow$ 2MF₁ = – $\frac{2c}{a}x$ – 2a

$\Rightarrow$ MF₁ = $-\left(\frac{c}{a}x+a\right)=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=|a+ex|.$

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = – $\frac{2c}{a}x$ – (–2a) $\Rightarrow$ 2MF₂ = – $\frac{2c}{a}x$ + 2a

$\Rightarrow$ MF₂ =  a –$\frac{c}{a}$x $=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=|a-ex|.$

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có

$M{F}_1=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=|a+ex|;M{F}_2=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=|a-ex|.$