Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

Hướng dẫn giải

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: 

$\frac{MF}{d(M;\Delta )}=e$$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=\frac{1}{2}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=\frac{{|x+y-1|}^2}{8}$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=\frac{x^2+y^2+1+2xy-2x-2y}{8}$

$\iff 8(1-2x+x^2+1-2y+y^2)=x^2+y^2+1+2xy-2x-2y$

$\iff 7x^2+7y^2-2xy-14x-14y+15=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $7x^2+7y^2-2xy-14x-14y+15=0.$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta )}=e$$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=1$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=\frac{{|x+y-1|}^2}{2}$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=\frac{x^2+y^2+1+2xy-2x-2y}{2}$

$\iff 2(1-2x+x^2+1-2y+y^2)=x^2+y^2+1+2xy-2x-2y$

$\iff x^2+y^2-2xy-2x-2y+1=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2+y^2-2xy-2x-2y+1=0.$

c) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta )}=e$$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=2$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=2.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\sqrt{2}.|x+y-1|$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=2{|x+y-1|}^2$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=2(x^2+y^2+1+2xy-2x-2y)$

$\iff x^2+y^2+4xy-2x-2y=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2+y^2+4xy-2x-2y=0.$