Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 có hai tiêu điểm là F1(–c; 0), F2(c; 0) (Hình 6).

Hướng dẫn giải

a) F₁M2 = ${[x-(-c\left)\right]}^2 + {(y-0)}^2$ = ${(x + c)}^2 + y^2$ = $x^2 + 2cx + c^2 + y^2$;

F₂M2 = ${(x – c)}^2 + {(y – 0)}^2 = x^2 – 2cx + c^2 + y^2$

b) F₁M2 – F₂M2 = $(x^2 + 2cx + c^2 + y^2) – (x^2 - 2cx + c^2 + y^2)$ = 4cx.

F₁M2 – F₂M2 = 4cx => (F₁M + F₂M)(F₁M – F₂M) = 4cx => 2a(F₁M – F₂M) = 4cx

=> F₁M – F₂M = 4cx/2a = 2 cx/a

c)

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1}M-F_{2}M=\frac{2c}{a}x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) + (F₁M – F₂M) = 2a + $\frac{2c}{a}x$ => 2F₁M = 2a + $\frac{2c}{a}x$ => MF₁ = a + c/a x.

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1}M-F_{2}M=\frac{2c}{a}x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) – (F₁M – F₂M) = 2a – $\frac{2c}{a}x$ => 2F₂M = 2a – $\frac{2c}{a}x$ => MF₂ = a – c/a x.