Tìm các điểm trên elip (E): x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Xét điểm M có toạ độ là (x; y).

+) Xét khoảng cách từ M đến F₁.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

 $\Rightarrow \frac{c}{a}.(-a)\le \frac{c}{a}x\le \frac{c}{a}.a\Rightarrow -c\le \frac{c}{a}x\le c\Rightarrow a-c\le a+\frac{c}{a}x\le a+c.$

Vậy a – c ≤ MF₁ ≤ a + c.

Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là –a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng a.

+) Xét khoảng cách từ M đến F₂.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

 $\Rightarrow \frac{c}{a}.(-a)\le \frac{c}{a}x\le \frac{c}{a}.a\Rightarrow -c\le \frac{c}{a}x\le c\Rightarrow c\ge -\frac{c}{a}x\ge -c\Rightarrow a+c\ge a+\frac{c}{a}x\ge a-c.$

Vậy a + c ≥ MF₂ ≥ a – c.

Vậy độ dài MF₂ nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng –a.