Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H): x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 . a) Chứng minh rằng F1M2 – F2M2 = 4cx. b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A1(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả...

* Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) F₁M2 = ${[x – (– c\left)\right]}^2$ + ${(y – 0)}^2$ =  ${(x + c)}^2$ + $y^2$ = $x^2 +2cx + c^{2 }+ y^2$;

F₂M2 =  ${(x – c)}^2$ +${(y – 0)}^2$= $x^2 -2cx + c^{2 }+ y^2$

F₁M2 – F₂M2 = ($x^2 +2cx + c^{2 }+ y^2$) – ($x^2 -2cx + c^{2 }+ y^2$) = 4cx.

b) Ta có: MF₁2 – MF₂2 = 4cx => (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx => (MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

=> MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$ = –$\frac{2c}{a}$x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = –$\frac{2c}{a}$ + (–2a) => 2MF₁ = –

=> MF₁ = $-(\frac{c}{a}x+a)$$=-a-\frac{c}{a}x.$

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = –$\frac{2c}{a}$ – (–2a) => 2MF₂ = -$\frac{2c}{a}$ + 2a

=> MF₂ =  a –c/a x.

c) Ta có: MF₁2 – MF₂2 = 4cx =>  (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx => (MF₁ + MF₂)2a = 4cx

=> MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$ = $\frac{2c}{a}$x. Khi đó:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) =$\frac{2c}{a}$ + 2a => 2MF₁ =$\frac{2c}{a}$ + 2a

=> MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x.

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) =$\frac{2c}{a}$ – 2a => 2MF₂ =$\frac{2c}{a}$ – 2a

=> MF₂ = – a +$\frac{c}{a}$x.