Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trờ...

Hướng dẫn giải

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tiêu điểm F₂ của (H) trùng với tâm Mặt Trời, trục Ox đi qua đỉnh và tiêu điểm này của (H), đơn vị trên các trục là km.

Gọi phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Gọi toạ độ của vật thể là M(x; y).

Áp dụng công thức bán kính qua tiêu, ta có: khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là MF₂ = $|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$ = ex – a ≥ ea – a (vì vật thể nằm ở nhánh bên phải trục Ox nên x ≥ a).

Như vậy khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là ea – a

=> ea – a = 2 . 108 => 1,2a – a = 2 . 108 => a = 109 =>c = ea = 1,2 . 109

$\Rightarrow b^2=c^2-a^2={(1,{2.10}^9)}^2-{\left({10}^9\right)}^2=0,{44.10}^{18}.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{{10}^{18}}-\frac{y^2}{0,{44.10}^{18}}=1.$

b) Bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ là:

MF₂ = $|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$ = |109 – 1,2x| (km).