Cho hypebol (H) có tâm sai bằng căn 2 . Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}\Rightarrow$$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{2}\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{a^2}=2\Rightarrow a^2+b^2=2a^2\Rightarrow a^2=b^2\Rightarrow a=b\Rightarrow 2a=2b.$

Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.