Cho đường tròn (C) tâm F1, bán kính r và một điểm F2 thoả mãn F1F2 = 4r. a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H). b) Vi...

Hướng dẫn giải

a) Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C);

I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C).

Vì F₂ nằm ngoài (C) nên (C') tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C').

+) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì r' + r = IF₁ => IF₂ + r = IF₁ => IF₁ – IF₂ = r

+) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C') thì r' – r = IF₁ => IF₂ – r = IF₁

=> IF₂ – IF₁ = r.

Vậy ta luôn có |IF₂ – IF₁| = r trong cả hai trường hợp

=> I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F₁, F₂ và độ dài trục thực là r.

b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F₁F₂ và F₁, F₂ đều nằm trên trục Ox.

Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = r/2

F₁F₂ = 4r, suy ra c = 2r, suy ra $b^2=c^2-a^2={\left(2r\right)}^2-{\left(\frac{r}{2}\right)}^2=\frac{15r^2}{4}.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{\frac{r^2}{4}}-\frac{y^2}{\frac{15r^2}{4}}=1.$