Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết: a) Tiêu điểm là F1(– 3; 0) và đỉnh là A2 (2; 0).

a)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một tiêu điểm là F₁(–3; 0) $\Rightarrow$ c = 3.

+) Hypebol có một đỉnh là A₂(2; 0) $\Rightarrow$ a = 2 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 3² – 2² = 5.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1.$

b)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A₂(4; 0) $\Rightarrow$ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự là 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

c)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một tiêu điểm là F₂(4; 0) $\Rightarrow$ c = 4.

+) Hypebol có một đường tiệm cận là $y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{7}}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{3}=\frac{b}{\sqrt{7}}\Rightarrow \frac{a^2}{9}=\frac{b^2}{7}=\frac{a^2+b^2}{9+7}=\frac{c^2}{16}=\frac{4^2}{16}=1\Rightarrow$a² = 9, b² = 7.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1.$