Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): x^2/64 - y^2/36 = 1

* Hướng dẫn giải

Hypebol (H) có a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=10$ và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6).

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

+) (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) $\Rightarrow c=10\Rightarrow a^2-b^2=c^2=100\left(1\right).$

+) Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E) $\Rightarrow M\left(8;6\right)\in \left(E\right)$

$\Rightarrow \frac{8^2}{a^2}+\frac{6^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{64}{a^2}+\frac{36}{b^2}=1\left(2\right).$

Thế (1) vào (2) ta được:

$\frac{64}{b^2+100}+\frac{36}{b^2}=1\Rightarrow \frac{64b^2+36\left(b^2+100\right)}{\left(b^2+100\right)b^2}=1$

$\Rightarrow 64b^2+36\left(b^2+100\right)=\left(b^2+100\right)b^2$

$\Rightarrow 100b^2+3600=b^4+100b^2\Rightarrow b^4=3600\Rightarrow b^2=60\Rightarrow a^2=160.$

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{160}+\frac{y^2}{60}=1.$