Hãy so sánh bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) với bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

Hướng dẫn giải

Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là $y^2$= 2px (p > 0).

Gọi toạ độ của M là (x; y).

F(p/2;0) là tiêu điểm của (P), H là hình chiếu của M lên đường chuẩn Δ: x + p/2 = 0 của (P).

Khi đó:

MF = $\sqrt{{(\frac{p}{2}-x)}^2+y^2}=\sqrt{\frac{p^2}{4}-px+x^2+2px}=\sqrt{\frac{p^2}{4}+px+x^2}=\sqrt{{(x+\frac{p}{2})}^2}=|x+\frac{p}{2}|.$

MH = $|x+\frac{p}{2}|.$

Vậy MF = MH, mặt khác MH chính là bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P), do đó bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) bằng bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P).