Viết phương trình của conic (C) trong mỗi trường hợp sau: a) (C) có tiêu điểm F(8; 0), đường chuẩn Δ: x – 2 = 0 và tâm sai e = 2; b) (C) có tiêu điểm F(–4; 0), đường chuẩn

Hướng dẫn giải

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta )}=e$$\iff \frac{\sqrt{{(8-x)}^2+{(0-y)}^2}}{|x-2|}=2$

$\iff \sqrt{{(8-x)}^2+{(0-y)}^2}=2|x-2|$

$\iff {(8-x)}^2+{(0-y)}^2=4{|x-2|}^2$

$\iff (64-16x+x^2)+y^2=4(x^2-4x+4)$

$\iff 3x^2-y^2=48$

$\iff \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{48}=1.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{48}=1.$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta )}=e$$\iff \frac{\sqrt{{(-4-x)}^2+{(0-y)}^2}}{|x+\frac{25}{4}|}=\frac{4}{5}$

$\iff \sqrt{{(-4-x)}^2+{(0-y)}^2}=\frac{4}{5}|x+\frac{25}{4}|$

$\iff {(-4-x)}^2+{(0-y)}^2=\frac{16}{25}{|x+\frac{25}{4}|}^2$

$\iff (16+8x+x^2)+y^2=\frac{16}{25}(x^2+\frac{25}{2}x+\frac{625}{16})$

$\iff 16+8x+x^2+y^2=\frac{16}{25}{x}^2+8x+25$

$\iff \frac{9}{25}{x}^2+y^2=9$

$\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$