Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) Ta có:

$\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})+\overrightarrow{CB}$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CB}$             (bỏ dấu ngoặc)

= $(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{BD}$          (tính chất giao hoán và kết hợp)

= $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$            (quy tắc ba điểm)

Do đó $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=1$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$

$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA})$        (tính chất giao hoán và kết hợp)

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA}$                      (quy tắc ba điểm)

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$

Xét tam giác ADC vuông tại D, áp dụng định lí Pythagore ta có:

AC² = AD² + DC² = 1² + 1² = 2 $\Rightarrow AC=\sqrt{2}$

Vậy $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=\sqrt{2}$.