Tính góc giữa hai đường thẳng ∆1: x + 3y + 2 = 0 và ∆2: y = 3x + 1.

Hướng dẫn giải

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁ là \({\overrightarrow n _1} = \left( {1;\,3} \right)\).

Ta có: y = 3x + 1 ⇔ 3x – y + 1 = 0 hay ∆₂: 3x – y + 1 = 0, do đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₂ là \({\overrightarrow n _2} = \left( {3;\, - 1} \right)\).

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Ta có:

cosφ = \(\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\,\,\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1.3 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\).

Do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ vuông góc và φ = 90°.