Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0. a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành. b) Lập phương trình đường thẳng ∆0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆. c) Hãy chỉ ra mối q...

Hướng dẫn giải

a) Phương trình trục hoành Ox: y = 0.

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\y = ax + b\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: ax + b = 0 ⇔ x = \( - \frac{b}{a}\) (do a ≠ 0).

Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất \(\left( { - \frac{b}{a};\,0} \right)\) nên ∆ và trục hoành cắt nhau tại giao điểm có tọa độ \(\left( { - \frac{b}{a};\,0} \right)\).

b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\, - 1} \right)\).

Do đường thẳng ∆₀ song song hoặc trùng với ∆ nên ta chọn vectơ \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của ∆₀.

Đường thẳng ∆₀ đi qua điểm O(0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\, - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó phương trình đường thẳng ∆₀ là: a(x – 0) – (y – 0) = 0 hay ax – y = 0 hay y = ax.

c) Khi ∆ và ∆₀ trùng nhau thì α_∆ và α_∆0 trùng nhau nên α_∆ = α_∆0.

Khi ∆ và ∆₀ song song thì α_∆ = α_∆0 (do hai góc ở vị trí đồng vị).

Vậy α_∆ = α_∆0.

d) Vì M thuộc đường thẳng ∆₀ nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng ∆₀ nên khi có hoành độ x₀ thì tung độ của M là y₀ = ax₀.

Ta có tanα_∆0 = tan\(\widehat {xOM}\) = \(\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = \frac{{a{x_0}}}{{{x_0}}} = a\) (theo định nghĩa giá trị lượng giác)

Do α_∆ = α_∆0 nên tanα_∆ = tanα_∆0 = a.

Vậy tanα_∆ = a.