Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, tia Ox trùng tia OF2 (H.7.21). a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F1, F...

Hướng dẫn giải

a) Vì F₁F₂ = 2c, mà O là trung điểm của F₁F₂.

Do đó ta có: F₁O = F­₂O = 2c : 2 = c.

Quan sát hình ta thấy, điểm F­₁ thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F₁O nên tọa độ F_1­(– c; 0).

Điểm F­₂ thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F₂O nên tọa độ F_2­(c; 0).

Vậy tọa độ các tiêu điểm: F₁(– c; 0) và F₂(c; 0).

b) +) Giả sử M(x; y) thuộc elip (E) ta cần chứng minh: $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2} + \sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$

Thật vậy, M thuộc elip (E) nên: MF₁ + MF₂ = 2a.

Lại có: MF₁ =$\sqrt{{\left(x-\left(-c\right)\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2} = \sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}$;

MF₂ = $\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2} = \sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}$.

⇒ MF₁ + MF₂  = $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2} + \sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$

Vậy $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2} + \sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$.

+) Giả sử $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2} + \sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$, ta cần chứng minh M thuộc elip (E).

Thật vậy: $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2} + \sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$ nên: MF₁ + MF₂ = 2a.

Vậy M thuộc elip (E).