Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD.

Vì M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD nên AM = BM = 1/2 AB và CN = DN = 1/2 CD.

Do đó ta có: BM = CN = AM = DN (*).

Khi đó BM // = ND nên BMDN là hình bình hành, suy ra BN = MD (1).

Tương tự AN = CM (2).

Hơn nữa ta chứng minh được BMNC là hình chữ nhật nên hai đường chéo BN và MC bằng nhau hay BN = MC (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra: BN = CM = AN = DM (**).

Từ (*) và (**) ta có: |BN – BM| = |CN – CM| = |AN – AM| = |DN – DM| < MN (bất đẳng thức tam giác).

Vậy A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.