Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của...

Hướng dẫn giải

a)

+) Khoảng cách từ F đến ∆, chính là FH và chính bằng tham số tiêu của (P) nên HF = p.

Lại có O là trung điểm của HF nên HO = OF = 1/2HF =p/2.

Điểm F thuộc trục Ox và nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng OF nên tọa độ của F là F(p/2; 0).

Điểm H thuộc trục Ox và nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng OH nên tọa độ của H là H (-p/2; 0).

+) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H (-p/2; 0) và vuông góc với trục Ox, do đó phương trình của ∆ là x = - p/2 hay ∆: x + p/2 = 0.

b) Ta có: MF = $\sqrt{{\left(x - \frac{p}{2}\right)}^2+y^2}$.

d(M, ∆) = $\frac{\left|x+{\displaystyle \frac{p}{2}}\right|}{\sqrt{1^2+0}}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.

+) Giả sử M thuộc (P), ta cần chứng minh $\sqrt{{\left(x - \frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.

Thật vậy, vì M thuộc (P) nên MF = d(M, ∆).  $\sqrt{{\left(x - \frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.

+) Giả sử $\sqrt{{\left(x - \frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$, ta cần chứng minh M thuộc (P).

Thật vậy, vì $\sqrt{{\left(x - \frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$ nên MF = d(M, ∆).

Vậy M thuộc (P).