Cho parabol (P): y = 1/4x2. Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).

Hướng dẫn giải

Ta có: MF = $\sqrt{x^2+{\left(y-1\right)}^2}$.

d(M, ∆) = $\frac{\left|y+1\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\left|y+1\right|$.

+) Giả sử MF = d(M, ∆), ta cần chứng minh M(x; y) thuộc (P).

Thật vậy, MF = d(M, ∆) $\iff \sqrt{x^2+{\left(y-1\right)}^2}=\left|y+1\right|$

Bình phương cả hai vế của phương trình trên ta được:

x² + (y – 1)² = (y + 1)²

⇔ x² – 4y = 0 ⇔ y = 1/4x².

Vậy M thuộc (P).

+) Giả sử M(x; y) thuộc (P), ta cần chứng minh MF = d(M, Δ).

M(x; y) thuộc (P) nên y = 1/4x² hay x² = 4y, thay vào biểu thức tính MF ta có:

MF = $\sqrt{x^2+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{4y+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{4y+y^2-2y+1}$

= $\sqrt{y^2+2y+1}=\sqrt{{\left(y+1\right)}^2}=\left|y+1\right|$ = d(M, ∆).

Vậy MF = d(M, Δ).