Giải các bất phương trình bậc hai sau: a) 2x^2 – 15x + 28 ≥ 0;

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 15x + 28 có ∆ = (-15)² – 4.2.28 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ = 4, x₂ = \(\frac{7}{2}\) và a = 2 > 0.

Do đó f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (-∞; 4) và \(\left( {\frac{7}{2}; + \infty } \right)\) và f(x) = 0 với x = 4, x = \(\frac{7}{2}\).

Vậy bất phương trình 2x² – 15x + 28 ≥ 0 có tập nghiệm là S = (-∞; 4] ∪ \(\left[ {\frac{7}{2}; + \infty } \right)\).

b) Tam thức bậc hai g(x) =  – 2x² + 19x + 255 có ∆ = 19² – 4.(-2).255 = 2 401 > 0. Do đó g(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 17, x₂ = \( - \frac{{15}}{2}\) và a = - 2 < 0.

Suy ra g(x) dương khi x thuộc khoảng \(\left( { - \frac{{15}}{2};17} \right)\).

Vậy bất phương trình – 2x² + 19x + 255 > 0 có tập nghiệm S = \(\left( { - \frac{{15}}{2};17} \right)\).

c) Ta có: 12x² < 12x – 8 ⇔ 12x² – 12x + 8 < 0

Tam thức bậc hai h(x) = 12x² – 12x + 8 có ∆ = (-12)² – 4.12.8 = -240 < 0. Do đó h(x) vô nghiệm và a = 12 > 0.

Suy ra h(x) dương với mọi giá trị của x.

Vậy bất phương trình 12x² < 12x – 8 có tập nghiệm là S = \(\emptyset \).

d) Ta có: x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x ⇔ - 4x² + 4x – 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai k(x) = – 4x² + 4x – 1 có ∆ = 4² – 4.(-4).(-1) = 0. Do đó k(x) có nghiệm kép x₁ = x₂ = \(\frac{1}{2}\) và a = - 4 < 0.

Suy ra k(x) = 0 khi x = \(\frac{1}{2}\) và k(x) < 0 với mọi x ≠ \(\frac{1}{2}\).

Vậy bất phương trình x² + x – 1 ≥ 5x² – 3x có tập nghiệm S = \(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).