Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0 với mỗi đường thẳng sau Δ1: 3x – 2y + 6 = 0; Δ2: x + 2y + 2 = 0; Δ3: 2x + 4y – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

* Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng ∆₁ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\3x - 2y + 6 = 0\end{array} \right.\).

Phương trình trên tương đương với \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\3x - 2y = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\].

Hệ có nghiệm duy nhất là (x; y) = \(\left( { - 1;\,\,\frac{3}{2}} \right)\).

Do đó đường thẳng d cắt đường thẳng ∆₁ tại điểm có tọa độ \(\left( { - 1;\,\,\frac{3}{2}} \right)\).

* Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng ∆₂ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x + 2y + 2 = 0\end{array} \right.\).

Phương trình trên tương đương với \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\x + 2y =  - 2\end{array} \right.\].

Hệ trên vô nghiệm.

Do đó đường thẳng d và đường thẳng ∆₂ song song với nhau.

* Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng ∆₃ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\2x + 4y - 4 = 0\end{array} \right.\).

Phương trình trên tương đương với \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\x + 2y = 2\end{array} \right.\].

Hệ trên có vô số nghiệm.

Do đó, hai đường thẳng d và ∆₃ có vô số điểm chung nên d trùng với ∆₃.