Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng vecto AH = 2 vecto OM

* Hướng dẫn giải

Lời giải

Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \)

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

BH /// CD và CH // BD

BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

OM // AH và \(AH = 2.OM\) (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {OM} \) có:

+ Cùng phương, cùng hướng

+ Độ dài: \(\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\]

Vậy \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\]