Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).Tìm toạ độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho | 2 vecto FC + 3 vecto FD|đạt giá trị nhỏ

* Hướng dẫn giải

Lời giải

Giả sử F(a; 0) thuộc trục hoành.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

+) \[\overrightarrow {FC} = & & \left( {1 - a;6} \right)\]\( \Rightarrow 2\overrightarrow {FC} = & & \left( {2 - 2a;12} \right)\)

+) \(\overrightarrow {FD} = \left( {11 - a;2} \right)\) \( \Rightarrow 3\overrightarrow {FD} = \left( {33 - 3a;6} \right)\)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {FC} + 3\overrightarrow {FD} = \left( {2 - 2a + 33 - 3a;12 + 6} \right)\)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {FC} + 3\overrightarrow {FD} = \left( {35 - 5a;18} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {FC} + 3\overrightarrow {FD} } \right| = \sqrt {{{\left( {35 - 5a} \right)}^2} + {{18}^2}} \)

Vì (35 – 5a)² ≥ 0 ∀a

Nên (35 – 5a)² + 18² ≥ 18² ∀a

Hay \(\sqrt {{{\left( {35 - 5a} \right)}^2} + {{18}^2}} \) ∀a

\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {FC} + 3\overrightarrow {FD} } \right| \ge 18\) ∀a

Do đó độ dài của vectơ \(2\overrightarrow {FC} + 3\overrightarrow {FD} \) nhỏ nhất bằng 18

Dấu “=’ xảy ra 35 – 5a = 0

a = 7

Vậy với F(7; 0) thì \(\left| {2\overrightarrow {FC} + 3\overrightarrow {FD} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.