Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).Tìm tập hợp các điểm M sao cho | vecto MC + vecto MD| = CD

* Hướng dẫn giải

Lời giải

Giả sử M(x ; y) là tọa độ điểm thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = CD.\)

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

+) \(\overrightarrow {CD} = \left( {10; - 4} \right)\)

\( \Rightarrow CD = \left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{10}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {116} = 2\sqrt {29} \)

Gọi I là trung điểm của CD, khi đó ta có:

• Tọa độ của I là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 11}}{2} = 6\\{y_I} = \frac{{6 + 2}}{2} = 4\end{array} \right.\) I(6; 4).

• \(\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MI} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = 2.MI\)

Ta có \(\left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = CD \Leftrightarrow 2MI = CD\)

\( \Leftrightarrow IM = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2\sqrt {29} }}{2} = \sqrt {29} .\)

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(6; 4) và bán kính \(R = \sqrt {29} .\)