Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3). Tìm toạ độ của điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

* Hướng dẫn giải

Lời giải

Tam giác ABD vuông cân tại A nên AB ⊥ AD và AB = AD

• Với AB ⊥ AD ta có \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \)

Mà \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \) (theo câu a)

Nên \[\overrightarrow {AD} \] cùng phương với \[\overrightarrow {AC} \]

Gọi D(a; b) là tọa độ điểm D cần tìm.

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {a - 2;b - 1} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} \right)\)

Do đó \[\overrightarrow {AD} \] cùng phương với \[\overrightarrow {AC} \] khi và chỉ khi:

\(\frac{{a - 2}}{1} = \frac{{b - 1}}{{ - 1}}\) a – 2 = 1 – b

b – 1 = 2 – a (4)

• Với AB = AD ta có AB² = AD²

\( \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\)

8 = (a – 2)² + (2 – a)² (do b – 1 = 2 – a)

8 = 2.(a – 2)²

(a – 2)² = 4

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2 = 2\\a - 2 = - 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 0\end{array} \right.\)

Với a = 4 thì b – 1 = 2 – 4 b = –1 ta có điểm D₁(4; –1).

Với a = 0 thì b – 1 = 2 – 0 b = 3 ta có điểm D₂(0; 3).

Vậy có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu đề bài là D₁(4; –1) và D₂(0; 3).