Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5). Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ DA + vecto DB có độ dài ngắn nhất.

* Hướng dẫn giải

Lời giải

Gọi M là trung điểm của AB.

Khi đó \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DM} \)

Do đó để vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất thì vectơ \(2\overrightarrow {DM} \) có độ dài ngắn nhất

DM có độ dài ngắn nhất

Hay DM² nhỏ nhất.

Giả sử D(0; y) là điểm thuộc trục tung

Với A(1; 1); B(7; 5) và D(0; y) ta có:

• M là trung điểm của AB nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4\\{y_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\end{array} \right.\)

M(4; 3)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DM} = \left( {4;3 - y} \right)\)

^DM2 = 4² + (3 – y)²

Hay DM² = (y – 3)² + 16

Vì (y – 3)² ≥ 0 với mọi y

Nên (y – 3)² + 16 ≥ 16 với mọi y

Hay DM² ≥ 16 với mọi y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y – 3 = 0 y = 3.

Do đó DM đạt giá trị nhỏ nhất khi D(0; 3)

Vậy D(0; 3) thì vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất.