1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình vô nghiệm \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m...

* Hướng dẫn giải

1. Đặt \(f(x)=x^2-2(m-1)x-4m\)

Bất phương trình \(f(x)<0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R\)

Do hệ số \(a=1>0\) nên:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( { - 4m} \right) \le 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} \le 0\\
 \Leftrightarrow m =  - 1\left( t \right)
\end{array}\)

2. Bất phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 3}  \ge 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x < 0\\
{x^2} + 3 \ge 0,\forall x \in R
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x \ge 0\\
{x^2} + 3 \ge 4{x^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} \le 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
 - 1 \le x \le 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 0\\
0 \le x \le 1
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x \le 1\) là nghiệm của bất phương trình.