Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(8;-1) và đường thẳng d có phương trình \(2x-y-7=0\)1.

* Hướng dẫn giải

1. (d) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y =  - 7 + 2t
\end{array} \right.\,\,\left( {t \in R} \right)\)

Ta có \(M \in d \Rightarrow M\left( {m;2m - 7} \right),\overrightarrow {AM}  = \left( {m - 8;2m - 6} \right)\)

Để \(AM = 5 \Leftrightarrow {\left( {m - 8} \right)^2} + {\left( {2m - 6} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3 \Rightarrow M\left( {3; - 1} \right)\\
m = 5 \Rightarrow M\left( {5;3} \right)
\end{array} \right.\)

Vậy M(3;-1) hoặc M(5;P3) thỏa mãn đề bài 

2. Gọi \(\Delta\) là đường thẳng cần tìm

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên \(\Delta\). Khi đó AH là khoảng cách từ A đến \(\Delta\)

Ta có \(AH \le OA\) (Quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc).

Khoảng cách từ A đến \(\Delta\) lớn nhất bằng OA khi và chỉ khi \(H \equiv O \Leftrightarrow \Delta  \bot OA\)

\(\Delta  \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {8; - 1} \right)\) là vecto pháp tuyến của \(\Delta\), mặt khác \(\Delta\) đi qua O(0;0) nên \(\Delta\) có phương trình tổng quát là: \(8x-y=0\)