Một xưởng sản xuất có 12 tấn nguyên liệu A và 8 tấn nguyên liệu B để sản xuất

Câu hỏi :

Một xưởng sản xuất có 12 tấn nguyên liệu A và 8 tấn nguyên liệu B để sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng 6 tấn nguyên liệu A và 2 tấn nguyên liệu B, khi bán lãi được 10 triệu đồng. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng 2 tấn nguyên liệu A và 2 tấn nguyên liệu B, khi bán lãi được 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho xưởng nói trên sao cho có tổng số tiền lãi cao nhất.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Gọi x và y lần lượt là số tấn sản phẩm X và Y mà xưởng cần sản xuất (x ≥ 0, y ≥ 0) (1).

Để sản xuất x tấn sản phẩm X cần 6x tấn nguyên liệu A, 2x tấn nguyên liệu B.

Để sản xuất y tấn sản phẩm Y cần 2y tấn nguyên liệu A, 2y tấn nguyên liệu B.

Do xưởng sản xuất có 12 tấn nguyên liệu A và 8 tấn nguyên liệu B nên 6x + 2y ≤ 12 và 2x + 2y ≤ 8.

Ta có 6x + 2y ≤ 12 ⇔ 3x + y ≤ 6. (2)

2x + 2y ≤ 8 ⇔ x + y ≤ 4. (3)

Từ đó ta có hệ bất phương trình sau:$\left\{\begin{array}{l}3x+y\le 6\\ x+y\le 4\\ x\le 0\\ y\le 0\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được miền tứ giác OABC có tọa độ các đỉnh là: O(0; 0), A(0; 4), B(1; 3), C(2; 0) (miền không bị gạch trong hình sau kể cả bờ).

Số tiền lãi khi bán x sản phẩm X và y sản phẩm Y là F = 10x + 8y (triệu đồng).

Người ta chứng minh được rằng F đạt GTLN tại các đỉnh của tứ giác OABC.

Ta có: F(0; 0) = 10 . 0 + 8 . 0 = 0

F(0; 4) = 10 . 0 + 8 . 2 = 32

F(1; 3) = 10 . 1 + 8 . 3 = 34

F(2; 0) = 10 . 2 + 8 . 0 = 20

Do đó, F đạt GTLN là 34 triệu đồng tại đỉnh B(1; 3).

Vậy xưởng cần sản xuất 1 tấn sản phẩm X và 3 tấn sản phẩm Y thì sẽ có tổng tiền lãi cao nhất.