Câu hỏi :

Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, AC = m, BD = n. Chứng minh: m2 + n2 = 2(a2 + b2).

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Lời giải

Xét tam giác ABC, có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cosB (định lí cos)

m2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosB (1)

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC = b, \(\widehat A + \widehat B = 180^\circ \)

Vì \(\widehat A + \widehat B = 180^\circ \) cosA = – cosB cosA + cosB = 0

Xét tam giác ABD, có:

BD2 = AB2 + AD2 – 2.AB.AD.cosA (định lí cos)

n2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosA (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

m2 + n2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosB + a2 + b2 – 2.a.b.cosB

m2 + n2 = 2(a2 + b2) – 2.a.b.(cosB + cosA)

m2 + n2 = 2(a2 + b2) – 2.a.b.0

m2 + n2 = 2(a2 + b2).

Copyright © 2021 HOCTAP247