Biết sin α + cos α = căn bậc hai 2. Giá trị của biểu thức Q = sin4α – cos4α là: A. 1; B. – 1; C. 0; D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: Q = sin⁴α – cos⁴α = (sin²α + cos²α) . (sin²α – cos²α)

= 1 . (sinα – cosα) . (sinα + cosα)

= \(\sqrt 2 \)(sinα – cosα).

Mặt khác: sin α + cos α = \(\sqrt 2 \)⇒ (sin α + cos α)² = 2

⇔ sin²α + 2 sin α . cos α + cos²α = 2

⇔ (sin²α + cos²α) + 2 sin α . cos α = 2

⇔ 1 + 2 sin α . cos α = 2

\( \Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{{2 - 1}}{2} = \frac{1}{2}\).

Do đó: (sinα – cosα)² = sin²α + cos²α – 2.sinα.cosα = 1 – 2 . \(\frac{1}{2}\) = 0.

Suy ra: sin α – cos α = 0.

Vậy Q = 0.