Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD

Câu hỏi :

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vectơ $\overrightarrow{AG}$ qua các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ta được $\overrightarrow{AG}=\frac{a}{b}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{d}\overrightarrow{AC}$ với $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Khi đó ta có: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=?$

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì AB = 3AM và M nằm trên cạnh AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

Ta có: $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

G là trọng tâm tam giác MNB nên ta có:

$3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$\iff \overrightarrow{AG}=\frac{5}{18}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\frac{a}{b}=\frac{5}{18}$ và $\frac{c}{d}=\frac{1}{3}$.

Suy ra $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{5}{18}+\frac{1}{3}=\frac{11}{18}$.