Cho tam giác ABC có điểm D sao cho: vecto BD= 2/3 vecto BC và I là trung điểm của AD

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Vì I là trung điểm AD nên có:

$\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC}\iff \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=x\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\iff \overrightarrow{BM}=\left(1-x\right)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}$

Ba điểm B, I, M thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho

$\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BI}$

$\iff (1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC}$

$\iff \left(1-x-\frac{k}{2}\right)\overrightarrow{BA}+\left(x-\frac{k}{3}\right)\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}1-x-\frac{k}{3}=0\\ x-\frac{k}{2}=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{5}\\ k=\frac{6}{5}\end{array}\right.$

Vậy x = $\frac{2}{5}$  thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.