Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB

* Hướng dẫn giải

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{\text{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$.

Tương tự ta có: $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = $\frac{1}{2} \overrightarrow{CE}$; $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{2} \overrightarrow{EA}$ .

Suy ra $\overrightarrow{MN}+ \overrightarrow{\text{PQ}} +\overrightarrow{RS}=\frac{1}{2}( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+ \overrightarrow{EA})= \overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow{MN}+ \overrightarrow{\text{PQ}} +\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{0}$

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR ta có: $\overrightarrow{\text{GM}} + \overrightarrow{\text{GP}}+\overrightarrow{\text{GR}}=\overrightarrow{0}$

Ta lại có:

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GN} ; \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{GQ} ; \overrightarrow{RS}= \overrightarrow{RG}+ \overrightarrow{GS}$

Suy ra $\overrightarrow{MN}+ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GN}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{RG}+\overrightarrow{GS}$

$=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{PG}+ \overrightarrow{RG}+ \overrightarrow{GN}+ \overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}=\overrightarrow{0}$

Mà $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+ \overrightarrow{GR}=\overrightarrow{0}$ ⇒  $- (\overrightarrow{GM}+ \overrightarrow{GP}+ \overrightarrow{GR})= \overrightarrow{0}$⇒ $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{RG}= \overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{GN}+ \overrightarrow{GQ}+ \overrightarrow{GS}= \overrightarrow{0}$

Suy ra G là trọng tâm của tam giác NQS.

Như vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.