b) x^2 – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ.

b)

x² – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ

Xét phương trình x² – (2m + 1)x + m + 2 = 0 có:

a = 1 > 0

∆ = [–(2m + 1)]² – 4.1.(m + 2) = 4m² + 4m + 1 – 4m – 8 = 4m² – 7

Để x² – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ Δ < 0

⇔ 4m² – 7 < 0

⇔$m^2<\frac{7}{4}$

⇔$-\frac{\sqrt{7}}{2}<m<\frac{\sqrt{7}}{2}$

Vậy khi $-\frac{\sqrt{7}}{2}<m<\frac{\sqrt{7}}{2}$thì x² – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ.