Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 3y − 2x trên miền xác định bởi hệ

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y-2x-2\le 0\\ 2y-x-4\ge 0\\ x+y-5\le 0\end{array}\right.$  (1)

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng d₁: y − 2x − 2 = 0, d₂: 2y − x − 4 = 0, d_3­: x + y − 5 = 0.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả biên) như hình vẽ trên.

Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ (1) là:

A(0; 2), B(2; 3), C(1; 4)

Ta có: F(x; y) = 3y − 2x

Khi đó: $\left\{\begin{array}{c}F(0;2)=3.2-2.0=6\\ F(2;3)=3.3-2.2=5\\ F(1;4)=3.4-2.1=10\end{array}\right.$⇒ F_min = 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F bằng 5 tại (x; y) = (2; 3).