Chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} + \frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{5}{2}\), với \(\forall a,b > 0\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} + \frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} - 2} \right) + \left( {\frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}} - \frac{1}{2}} \right) \ge 0\) 

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {\frac{1}{{ab}} - \frac{1}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \right) \ge 0\)