Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác biết ba điểm \(A(3; - 1),{\rm{ }}B\left( {2,\,\,5} \right),{\rm{ }}C( - 2;3).\)

* Hướng dẫn giải

a. Ta có  \(\overrightarrow {AB}  = (4;\,2),\,\,\overrightarrow {AC}  = ( - 5;\, - 4)\)

Vì \(\frac{4}{{ - 5}} \ne \frac{2}{{ - 4}}\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác

b. Gọi D(x;y). Tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \) 

      \(\overrightarrow {AD}  = (x + 2;\,y - 3)  ;\,\,\,\overrightarrow {BC}  = (1;\, - 6)\) 

      Suy ra:  \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 = 1\\
y - 3 =  - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y =  - 3
\end{array} \right.\)                Vậy \(D( - 1;\,\, - 3)\)

Vì A là trọng tâm tam giác BCE nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
3{x_A} = {x_B} + {x_C} + {x_E}\\
3{y_A} = {y_B} + {y_C} + {y_E}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_E} = 3{x_A} - ({x_B} + {x_C}) =  - 11\\
{y_E} = 3{y_A} - ({y_B} + {y_C}) = 5
\end{array} \right.\)     Vậy \(E( - 11;\,\,5)\)

c. Theo bài ra ta có diện tích tam giác BCA bằng 9 lần diện tích tam giác BMN

và tam giác BCA đồng dạng với tam giác BMN

Từ giả thiết suy ra  \(\overrightarrow {BA}  = 3\overrightarrow {BN} ;\overrightarrow {BC}  = 3\overrightarrow {BM} \)

Gọi N(x;y). Ta có \(\overrightarrow {BA}  = (4;\,2);\,\,\,\overrightarrow {BN}  = (x - 2;y - 5)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = \frac{4}{3}\\
y - 5 = \frac{2}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{10}}{3}\\
y = \frac{{17}}{3}
\end{array} \right.\) .      Vậy  \(N\left( {\frac{{10}}{3};\frac{{17}}{3}} \right)\) 

Gọi M(x;y). Ta có \(\overrightarrow {BC}  = (1;\, - 6);\,\,\,\overrightarrow {BM}  = (x - 2;y - 5)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = \frac{1}{3}\\
y - 5 =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{7}{3}\\
y = 1
\end{array} \right.\) .      Vậy  \(M\left( {\frac{7}{3};1} \right)\)